數學破解猜字遊戲Wordle：「熵」最大的單字，就是最好的起手式

文：數感實驗室

過年前的數學熵最手式臉書開始出現一些綠、黃、破解灰的猜字小方格，吹起一股Wordle猜字旋風。遊戲五個字母組成的大的單字的起單字，運氣不好得猜個五、最好六次；運氣好三次猜中時嘴角都忍不住上揚。數學熵最手式

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玩著玩著，破解許多人發展出一套策略。猜字比方說，遊戲母音e是大的單字的起最常出現的字母，應該要先猜猜看，最好還有人寫程式去尋找出最好用的數學熵最手式單字組。知名數學頻道threeblueonebrown日前發布了一則影片討論Wordle，破解影片長達30分鐘，猜字不到一天就突破百萬點閱，有興趣的朋友一定要去看看。

今天，我們將它影片中提到的基礎概念，用一些生活化的譬喻，分享給大家參考：

首先快速介紹Wordle的規則：每次猜一組5個字母的單字，如果跟答案有一樣的字母但位置不同，該字母會用黃色格子表示🟨；若位置也正確，則該字母會用綠色表示🟩；若沒有這個字母，則以灰色格子呈現⬜。根據資料，Wordle的答案有2315組單字。玩家目標就是利用每次猜測的色塊線索，排除不可能的選項，找出答案。

每次猜字都是買樂透

Wordle的各種流派中，有人傾向開場多測常出現的字母，盡可能製造出「綠色」或「黃色」；也有人喜歡走偏鋒放冷門字，倘若猜中，能一口氣快速縮小尋找範圍。

這邊出現了一個取捨：容易出現的字母就算猜到，可能解還是很多；冷門字母雖然不好猜，可一猜到效果絕佳。

這就好比買樂透：一個是中獎機率高但獎金低，一個是中獎機率低但獎金高。你想買哪組樂透呢？

「不確定」的期望值

如果你對機率略懂，就會回答：

不能單看機率或獎金金額，要綜合起來算期望值。

沒錯，我們得把各獎項的機率乘上獎金金額，再加總起來算出期望值，才能決定該買哪一組樂透。

將樂透的譬喻套回Wordle，每次猜字會開出「三的五次方」個獎項，因為每個格字都有「綠、黃、白」三種顏色，一共有五個格字。

全綠表示大獎全部都猜對，安慰獎全灰也有價值，至少刪掉了五個字母。

所以，再給定答案兩千多個單字的情況下，我們可以（交給電腦）統計出每個字母的出現機率，進而算出當你起手式輸入某一個單字，比方說quick或arose，就可以算「三的五次方」個獎項的對應機率各是多少。

機率能算出來了，但樂透獎金該對應到Wordle的什麼呢？我們再來想想看，

🟩🟩🟩🟩🟩 五格全綠是大獎，直接猜對答案；
⬜⬜⬜⬜⬜ 五格全灰是安慰獎，只刪去五個字母，還剩下很多可能的答案；
🟩🟩🟩⬜🟩 四格綠也很棒；沒剩幾個可能的答案，結果呼之欲出了。

你發現關鍵了嗎——可能解越少，相當於獎金越高。

用數學一點的說法就是，當「不確定性（uncertainity）」越低，則獎金越高。

上個世紀，麻省理工學院的Claude Shannon教授使用了「-log p」來量化此不確定性，發展出「熵」（entropy），對應了樂透情境中的獎金期望值。

換句話說，我們可以用電腦計算每個單字作為起手式的「熵」是多少。熵最大的單字，就是最棒的開場。根據threeblueonebrown的計算，最好的起手式是crane。

它的意思是「起重機」，家裡如果有小朋友很愛工程車的應該就知道這個字。起重機做為開場，出乎意料地符合情境。第一次猜完後，根據答案。我們可以算出剩下來的可能單字中，誰的熵最高，再進行第二次猜測，依此類推。

這邊要特別說一下，許多人可能是第一次聽到「熵」，但它其實早就出現在你我的日常中，對我們有著巨大的影響。當年，Claude Shannon寫下幾行關於熵的數學式子，推導出在不同條件下，通信系統能夠傳遞幾位元的資料，成為後來幾十年無數通信工程師，發展各式各樣通信技術時的重要參考依據。現在我們能有這麼便利的無線通信技術，「熵」的概念與後續發展出的資訊理論（information theory）絕對是扮演了很重要的角色。

三次破關的天花板

熵不僅能幫我們找出每步該用哪組單字，它還能預測我們大概還需要幾步。同樣是threeblueonebrown的計算結果，Wordle這款遊戲有2315組可能的答案，一開始的不確定性大約是11.17。每次最好的選擇，也就是能消減的熵大約是5左右。

以開場crane來說，它的熵是5.74。

換句話說，如果你夠厲害，前兩次應該能把剩餘的不確定性壓在1-2之間，換算回去大概就是二到四組可能解。有機會在第三次或第四次猜中。

這也是為什麼大家玩到最後，平均能在四次左右搞定，運氣好一點可以三次。要發展出一個能平均在三次以內就破解的流程或演算法，基本上不太可能，因為數學告訴你「不行就是不行」。

最後，Wordle的重點當然是好玩跟放鬆，認真去算這麼多東西也太累了。不過，相信任何一位Wordle玩家也都很享受猜字過程中的腦力激盪，而我們想跟大家分享的重點是：

當你覺得在用直覺思考，判斷到底該下哪一個字的時候，其實整個思考過程能透過數學化，變得更精準、更有效。

就像數學家Jordan Ellenberg曾說過的——

「數學是擴充直覺的手段。」

本文經數感實驗室授權刊載，原文刊載於此

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責任編輯：潘柏翰
核稿編輯：翁世航