「陰謀諭」的貝氏分析：渣男背後有陰謀的機率有多少？

什麼是陰謀諭的有陰有多「陰謀論」？一件不可思議的事情發生了，令人瞠目結舌。貝氏背後

很多人會說：如果沒有陰謀，分析這種事情根本不可能發生；現在發生了，渣男它背後一定有陰謀在運作。機率這種推論類似於對超自然力量存在的陰謀諭的有陰有多推論：如果沒有超自然力量，這種事情根本不可能發生；現在發生了，貝氏背後它背後一定有超自然力量在運作。分析宗教信徒常主張的渣男「智慧設計論」（intelligent design）便是這樣的邏輯。陰謀論與智慧設計論具有相同的機率邏輯結構。

一、陰謀諭的有陰有多陰謀論的貝氏背後邏輯結構

陰謀論者不認為關鍵事實能從正常人的行為自然產生，而必須訴諸想像中超越正常、分析隱藏幕後的渣男組織運作才能理解。在這個意義上，機率陰謀也可以說是一種「超自然力量」，其邏輯結構如下：

• 前提1：如果沒有陰謀，事情不會發生
• 前提1a：如果事情發生，一定有陰謀
• 前提2：事情發生了
• 結論：有陰謀

前提1a是前提1依命題邏輯之「以否定後項來否定前項」（modus tollens）的法則而來。一旦前提1a確立，加上前提2的事實，則有陰謀的結論自然成立。這是「以肯定前項來肯定後項」（modus ponens）的演繹法。

這種推論的問題在於：即使陰謀真的會導致此事發生，但我們通常無法排除其它的原因。陰謀可以是事情發生的充分條件，但前提1以及前提1a卻把陰謀當成必要條件。

如果我們同意陰謀只能是充分條件，則陰謀論的推理方法變成這個樣子：

• 前提1b：如果有陰謀，事情一定會發生
• 前提2：事情發生了
• 結論：有陰謀

這個推理方法就不是演繹法了，它喚做「回溯推論法」（abduction）。

關於回溯推論法，請參考我的文章：〈回溯推論法、貝氏定理、及推理小說〉

回溯推論法的問題在於：第一，如果無法排除事情發生的其它可能原因，它便犯了「以肯定後項來肯定前項」的邏輯謬誤。第二，即使有陰謀，其實事情也不一定就會發生；換句話說，陰謀不但不必然是必要條件，也不必然是充分條件。

這兩個問題都牽涉到機率：如果事情發生有很多可能的原因，這些原因各佔多少機率？如果有陰謀不必然保證事情發生，那它會導致事情發生的機率是多少？

忽略機率——把「可能」當成「必然」——會讓回溯推論法歪樓而產生可笑的結論。福爾摩斯小說每篇一開始，幾乎都是貝克街221B中福爾摩斯以回溯推論法逆推華生心思或客戶身分的場景。這些推理常令小說角色驚訝，但其實邏輯鬆懈，仔細思考就會發現它們都沒有考慮到上述的機率問題。

在《跳舞的人》案件，福爾摩斯看了華生左手的虎口有白粉，就推論說他沒有打算投資金礦。從前提到結論之間共有五個環節，每個環節其實都有機率問題。柯南．道爾不讓華生去細究這些機率而讓他在了解環節之後大叫「這太簡單了！」純粹是為了製造喜劇效果而已。

二、渣男事件的貝氏分析

回到陰謀論。如果我們知道這些機率，那我們就可以算出有陰謀的機率是多少。這要用到奇妙的貝氏定理。

今天有渣男攀緣名流、惡行惡相，有恃無恐，而又金援充裕。很多人認為不可思議，推論其人背後必有陰謀集團指使撐腰。

要對這個陰謀論做貝氏分析，我們必須要先估計在這些事實曝光之前，究竟有陰謀集團運作的機率是多少？這就是所謂先驗機率，這個機率仰賴主觀信仰，其估計會因人而異。我們先假定這個機率為θ。

另外，我們也要估計「有陰謀」及「沒有陰謀」兩種理論之下的條件機率。我們依照陰謀論，假設陰謀之下產生這種渣男的機率非常高，但不是百分之百，而是0.99。這個機率是醫學檢定中「真陽性」的機率，資料科學則稱為「召回率」（recall），意思是所要檢定的機制（陰謀）運作時可以得到的成效。統計術語則稱之為檢定「強度」（power）。如果以「H₁」標記陰謀論的假說，「+」標記經驗資料，則這裡召回率=Pr(+|H₁)=0.99表示檢定強度極高了。

陰謀論另一個假設是：若無陰謀團體運作，產生這種渣男的機率非常低。我們姑且假設它的確很低，但不是零，而是0.05。這是醫學檢定中「偽陽性」的機率。如果用統計學的術語，它是在虛無假說（H₀：無陰謀）之下觀察到經驗資料（渣男）或更極端事實的機率，也就是所謂「p值」：p=Pr(+|H₀)。統計學習慣上以0.05為顯著水平，p＜0.05代表可以在這個水平上拒絕虛無假說。設定p=Pr(+|H₀)=0.05表示資料恰恰足夠到與「無陰謀」之虛無假說不相諧的程度。

這些假設雖然不比陰謀論那麼絕對，但已相當接近，也比較合乎現實。表列如下：

Photo Credit:林澤民教授

貝氏定理算得的陰謀為真的後驗機率為：

Photo Credit:林澤民教授

關於貝氏定理的計算，請參考我的文章：〈貝氏定理在生活中很有用，可是它到底怎麼算？〉

這個機率——真陽性的反機率——資料科學稱為「精密度」（precision），也就是事實發生之後，我們對陰謀論為真的機率判斷。這裡真陽性的機率（召回率）固定為Pr(+|H1)=0.99，而真陽性的反機率Pr(H1|+)是θ的函數，可以圖示如下：

Photo Credit:林澤民教授

圖中除了顯示Pr(+|H₀)=0.05假設之下陰謀論的精密度外（紅色曲線），也顯示了Pr(+|H₀)=0.10、0.20、0.50假設之下的函數曲線。

從這個分析我們可以學到什麼？

首先，召回率對函數圖形的影響不大，所以分析時把召回率固定在0.99。

其次，即使在最合乎陰謀論的假設Pr(+|H₀)=0.05之下，陰謀論的精密度也不必然很高。圖一的紅色曲線顯示，如果先驗機率小於0.048，陰謀論的精密度會小於0.5。這是說如果之前人們主觀上對陰謀存在的相信度低，那麼即使現在渣男行跡敗露了，陰謀論為真的機率還不到0.5！其實，對於主觀上認為有陰謀的機率微乎其微（θ→0）的人，後驗機率也是接近於零的。只有在先驗機率高到0.5時，後驗機率才會接近百分之百。